Les techniques d'estimation paramétriques

[jefourcade]

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[mastro]

Bonjour à tous,

C’est en lisant le message de Mastro concernant son calcul de la distance critique (dont voici le lien ici) que m’est venu l’idée de faire ce post. Le calcul fait par Mastro porte sur un véritable cas d’école et montre justement ce qu’il ne faut pas faire 

Commençons par une approche mathématique du problème. On sait que la science modélise les phénomènes physiques par des équations mathématiques qui permettent de prédire des quantités que l’on peut confronter à des mesures. Ces prédictions dépendent de paramètres et tous le problème consiste à estimer ces paramètres en partir de ces mesures.

Dans le cas qui nous concerne, nous savons prédire la variation de l’intensité sonore en fonction de la distance à une source émettrice et cette variation dépend de la distance critique.  On va donc cherche à calculer un paramètre – la distance critique – en ajustant au mieux les prédictions avec les mesures.

On appellera mesures théoriques les valeurs calculées par le modèle mathématique et mesures réelles les quantités effectivement mesurées par l’instrument de mesure. La différence entre la mesure théorique et la mesure réelle se nomme le résidu.

Il existe plusieurs techniques d’estimation paramétrique mais une des plus utilisée est la méthode des moindres carrés.

Le principe des moindres carrés est simple : pour chaque mesure on calcule le résidu qu’on élève au carré pour avoir un nombre positif. On somme ensuite ces carrés sur l'ensemble des mesures. On cherche enfin les paramètres du problème qui minimisent cette somme, d’où le nom de la méthode : moindres carrés.

Dans le cas d’un problème linéaire (ce qui est le cas du calcul de la distance critique) la solution est directe (il n'y a pas besoin d'itérer) et s’obtient simplement en inversant une matrice. 

Il ne suffit pas de calculer des paramètres, il faut également estimer l’erreur associée à chaque paramètre. La relation matricielle qui permet de calculer l’estimateur des moindres carrées permet également de calculer l’erreur où plus précisément la variance associé à chaque paramètre estimé. 

On considère généralement que l’intervalle de confiance est de plus ou moins trois fois l’écart type (l’écart type est simplement la racine carré de la variance). Ainsi, si m est la valeur calculé d’un paramètre et s son écart type, l’intervalle de confiance est m-3s à m+3s. La valeur 3 vient du fait que dans le cas d’une répartition Gaussienne (dont la densité de probabilité est la typique courbe en cloche) la probabilité que la valeur effective du paramètre estimé soit dans cet intervalle est de 99,73 %, une valeur très proche de 100%.

La variance de l’estimateur dépend directement de la variance des mesures (bruit de mesures).  On peut montrer que quand le bruit de mesure tend vers zéro (mesures de plus en plus précises) la variance de l’estimation tend également vers zéro. Cependant deux phénomènes entre en jeu qui peuvent détériorer la précision de l’estimation.

Le premier phénomène est lié à ce qu’on appelle l’observabilité des paramètres. Un exemple simple permet de comprendre le concept.

Imaginons que je veuille calculer la pente d’une droite. Je mesure plusieurs point de cette droite par leurs coordonnées et j’effectue un moindre carrés sur ces points.  Comme nous venons de le voir la précision de la pente va dépendre de la précision des coordonnées. Mais cette précision va également dépendre des choix de ces points ; pour un bruit de mesure donné, plus je rapproche les points de mesures plus l’incertitude de la valeur de la pente augmente. Ainsi donc, la précision de l’estimation dépend de la variance des mesures mais également de la structure du problème que dicte le choix des mesures.

Dans certains cas, les mesures ne permettent pas d’identifier tous les paramètres. On a un parfait exemple en audio qui concerne l’enceinte bass reflex. On peut effectivement montrer qu’il n’est pas possible d’identifier tout les facteurs de pertes Qes,Qms,Qa,Qp,Ql à partir de l’impédance électrique bien que celle-ci dépende de tous ces paramètres.

Il existe des techniques mathématiques qui permettent de calculer le degré d’observabilité d’une estimation que sont les facteur d’inflation de variances. Ces techniques permettent également pour un problème donné de déterminer les paramètres bien observés de ceux peut observables.

Le deuxième phénomène qui entre en jeu est la validité du modèle. Il est évident que si le modèle mathématique utilisé décrit mal la réalité physique il en résultera une mauvaise estimation des paramètres. Pour s’en rendre compte on peut comparer la variance des résidus à la variance des mesures. Il ne faut, en effet, pas confondre ces deux quantités. La variance des résidus s’obtient directement par la formule de la variance appliquée à la suite des résidus. Le bruit de mesures est le bruit de l’instrument que l’on peut estimer à partir des caractéristiques de cet instrument.

Si le modèle décrit bien la réalité alors la variance des résidus doit être proche de celle des mesures. Si la variance des résidus est plus élevée que celle des mesures, il est légitime de soupçonner une erreur de modèle.

Enfin, un dernier problème se pose qui est l’élimination des mesures aberrantes. C’est parfois loin d’être évident. Une méthode consiste à calculer la solution des moindres carrés ainsi que la variance des résidus et éliminer toutes les mesures dont la dispersion est supérieure à n fois l’écart type de ces résidus. On choisit généralement n entre 5 et 10. Puis on recalcule une nouvelle solution avec les mesures restantes. On stoppe les itérations lorsque l’on n’élimine plus de mesures.

Voyons maintenant le calcul de la distance critique avec les mesures de dgil fait par Mastro.

Voici les deux courbes présentées par Mastro : la première est celle que donne mon tableur qui implémente un moindres carrés sur 9 points. La valeur de la DC est 2,6 m.  La deuxième est ce que propose Mastro en ajustant visuellement les points de 0,35 à 1,55 DC (8 points). Il trouve une valeur de la DC de 2,3m.

Remarquons dans un premier temps que l’ajustement visuel de Mastro revient en fait à faire un moindres carrés mais appliqué seulement sur les 8 premier points. Pour s’en convaincre voici le résultat de ce moindres carrés. On retrouve la même valeur de la DC et une courbe de variation d’intensité sonore identique.

En parlant de mon tableur :

j'ai constaté aussi qu'il pouvait calculer une DC à 5m par erreur , juste en rajoutant un point de mesure lointain non valide ...

Tout d’abord faisons remarquer qu’il est normal que la valeur de la DC soit erronée si on saisi des points non valides .. Mais la raison pour laquelle la valeur de la DC peut être si fausse est lié au problème d’observabilité dont j’ai parlé (revoir l’exemple du calcul de la pente d’une droite).

En fait, calculer la DC en ne prenant que des points de 0,35 à 1,55 fois la DC n’est pas suffisant. A 1,5 fois la DC on est encore à 2 dB au dessus du champ réverbéré.  L’asymptote ce situe à environ 3 à 4 fois la DC. Or le point numéro 9 est à environ deux fois la DC. Il faut donc le prendre en compte.

En prenant le calcul de mastro dont la solution s’ajuste bien sur les 8 premier points, on pourrait être tenté de penser que le point 9 constitue une mesure erronée. Il faudrait donc refaire cette mesure avec si possible des points de part et d’autre pour lever le doute.

Si l’on considère que cette mesure est valide alors c’est la solution du moindres carrées avec les 9 points qui doit être sélectionnée. Cependant cette méthode montre des résidus élevés pour les points  allant de 6 à 9, dont la valeur est supérieur au bruit de mesure d’un microphone.

On peut alors se poser la question de la validité du modèle consistant à prendre un champ réverbéré constant et on peut essayer un autre modèle.

C’est ce que j’ai fait en faisant varier la valeur du champ réverbéré en prenant une décroissance de 3db chaque fois que la distance double. Voici ce qu’on obtient :

La distance critique est cette fois de 1,43 m. On constate que les résidus sont faibles sauf au point 8 et que le résidu du point 9 qui était élevé dans le précédent modèle est ici très faible. On aurait  dans ce cas tendance à soupçonner la valeur de la mesure au point 8.

On constate donc qu’en changeant de modèle les conclusions changent de tout au tout. On constate également que l’ajustement des points 1 à 7 est très bon quelque soit le modèle avec pourtant des distances critiques variant entre 1,43m à 2,3m. Ceci conforte l’idée qu’il faut des points bien au-delà de la distance critique pour identifier correctement cette distance.

Mastro qui se ventait de nous vendre une méthode simple pour calculer la distance critique, c'est plutôt raté 

En fait, mais la littérature scientifique sur le sujet le dit, il est loin d'être évident de calculer une distance critique. Relire les post de Greg à ce sujet.

Cordialement

Jean

AMHA, ma méthode visuelle est bien valide , et le point de mesure 9 bien au delà de la DC , était vraisemblablement dans les choux ..
il suffit juste d'effectuer quelques mesures supplémentairement autour de la DC pour fignoler le résultat obtenu avec cette méthode ...

[raoul]

Bonjour Mastro,

J'ai remis le crochet ouvrant de la quotation, autrement le message était incompréhensible. Faire un aperçu t'aurait permis de constater la fausse manœuvre.
Ensuite, à moins que j'ai mal lu, ta réponse est d'ordre général, elle ne porte pas sur un ou plusieurs point précis de ce qu'a écrit Jean, il était de ce fait superflu de quoter son post.

a+mitiés raoul